По мере или помере как правильно?

Вне зависимости от части речи, к которой относится данное сочетание в предложении, оно пишется раздельно.

Правильно

По мере — наиболее часто употребляется как устойчивое сочетание, которое приобрело качества производного предлога. Всегда пишется раздельно, означает «с учётом прогресса в каком-либо действии».
По мере продвижения по службе он обзаводился связями.
Давление росло по мере погружения на глубину.
Мы будем продвигаться вглубь по мере возможности.

По мере — раздельное написание также сохраняется в случае сочетание предлога «по» и существительного «мера» в форме предложного падежа.
Мы можем судить о его профессионализме по мере, принятой во время аварии.
По мере длины, которую использовали в те времена, можно судить о регионе.

Неправильно

Помере, по-мере.