Позлится или позлиться как правильно?

Оба слова имеют право на существование, поскольку являются разными формами глагола.

Правильно

Позлится – глагол в будущем времени, отвечает на вопрос «что сделает?». Написание мягкого знака в глагольных суффиксах зависит от вопроса, который ставится к глаголу. Раз в вопросе нет мягкого знака, то и в слове его не будет.
Позлится он, позлится, да и перестанет.
Мама, может, и позлится, когда все узнает, но все равно поймет.
Позлится – это не то слово; да она же просто все разнесет от гнева.
На дом задали составить предложения со словами «разбегается», «позлится», «бреется».
Если он не побурчит, не позлится, не поворчит, то день прожит зря.

Позлиться – инфинитив, отвечает на вопрос «что сделать?». В вопросе есть мягкий знак, поэтому глагол будет писаться через –ТЬСЯ.
Мы можем и позлиться, и поругаться, но все равно помиримся.
И чего бы это мне не позлиться, если ты меня так «радуешь» каждым своим шагом!
У него очень мягкий характер, он даже позлиться не может.
Он только и может, что позлиться и поворчать.

Неправильно

Позлитца, позлитьца, пазлиться.