Приспособится или приспособиться как правильно?

И первый вариант написания, и второй можно встретить на просторах русского языка. Слова являются разными формами глагола.

Правильно

Приспособится – отвечающий на вопрос «что сделает?» глагол стоит в форме будущего времени. Пишется без «Ь», потому как такой буквы не имеется в вопросе.
Он приспособится к жаре, хоть и не любит ее.
Малыш приспособится к окружающему его миру.
Он приспособится жить со своим заболеванием.

Приспособиться – инфинитив. Пишется с мягким знаком в суффиксе, потому что отвечает на вопрос «что сделать?», который пишется с мягким знаком.
Он должен приспособиться жить с протезом.
Вы вынуждены приспособиться к этим условиям жизни.
Вам следует приспособиться к нынешнему состоянию.

Неправильно

Приспособитца, приспособитьца, приспособется.