Правильно
Баю-баюшки-баю – правильный вариант написания словосочетания, пишется через дефис. Согласно правилам русского языка, сочетания экспрессивного характера, осложненные усилительным суффиксом, пишутся через дефис: баю-баюшки-баю, волк-волчище, рад-радешенек.
«Баю-баюшки-баю» — самая известная колыбельная песня.
Ребенок плакал, пока мама не начала петь «баю-баюшки-баю».
Монотонное пение бабушки «баю-баюшки-баю» не давало ему уснуть.
Вечером папа включил известную колыбельную «Баю-баюшки-баю» в современной обработке.
Неправильно
Баю баюшки баю, баюбаюшибаю.