В русском языке возможны оба варианта написания слова.
Правильно
Близится — отвечает на вопрос «что делает?». Мягкий знак не пишется в слове, потому что его нет в задаваемом вопросе.
Близится час нашей радостной встречи.
Близится день нашего отъезда на курорт.
Небо темнеет, и гроза близится.
Долгожданный день солнечного затмения близится.
Близиться – инфинитив, отвечает на вопрос «что делать?». В слове будет писаться мягкий знак, потому что он есть в вопросе.
Как так можно неумолимо быстро близиться к концу своей жизни?
В словаре сказано: одно из значений слова «близиться», как устаревшей формы, означает перемещение или приближение.
Обедня скоро будет близиться к завершению.
Хорошее известие должно близиться семимильными шагами.
Неправильно
Близитца, близицца, близитца.