Правильно
Бочонок — слово является уменьшительной формой существительного «бочка». Образовано с помощью суффикса «-онок», который при добавлении к основе существительного образует существительное со значением маленький (внук — внучонок, бочка — бочонок, заяц — зайчонок и др.). По правилам русского языка, в суффиксах имён существительных после шипящих под ударением пишется «о» (бочонок), без ударения — буква «е» (крошечка, ложечка).
На столе стоял бочонок с номерами билетов.
Этот бочонок для вина я купил во время поездки на море.
Стальной бочонок идеально подходит для моих задач.
Дедушка мне подарил целый бочонок мёда.
Неправильно
Бочёнок.