Правильно
Доиграться – это слово нужно писать с буквой «Ь». Данный глагол стоит в своей начальной форме, поэтому к нему уместно поставить вопрос «что сделать?». Поскольку в вопросе, который ставится к глаголу, есть буква «Ь», то это значит, что и глагольный суффикс требует такой же буквы.
Ты можешь доиграться, сливая важную информацию конкуренту.
Руководство, лояльно относясь к такой политике, может доиграться до забастовки.
Политики могут доиграться до начала гонки вооружений.
Ты решил доиграться до короткого замыкания, экспериментируя с электроинструментами?
Неправильно
Доигратся, доигратьца, доигратца.