Контекст, который выражают эти прилагательные, отличается.
Правильно
Дружеский — связанный с дружбой, свойственный друзьям, характеризующий отношения друзей. Это прилагательное употребляется в общей лексике и употребляется ко всему, что можно соотнести со словом «друг».
Между ними давно выстроены дружеские отношения.
Вчера мы провели дружескую встречу в ресторане.
Хочу дать тебе искренний дружеский совет.
Дружественный — выражающий дружбу, взаимно доброжелательный, основанный на дружбе. Это прилагательное чаще всего употребляется в официально-деловом стиле речи.
В прошлом году визит президента носил дружественный характер.
Принимающая сторона создала дружественную обстановку.
Мы наладили крепкие дружественные отношения.
Неправильно
Дружиский, дружиствинный.