В русском языке есть оба слова, но их значение абсолютно разное.
Правильно
Дуэт — при написании через «э» слово означает команду или ансамбль из двух исполнителей (в спорте, музыке, танцах и т. п.). В русский слово заимствовано из итальянского duetto (происходит от латинского duo — «два»). Написание иностранных слов необходимо запомнить.
Популярный дуэт образовался на пике популярности рок-н-ролла.
Из вас получится идеальный дуэт для исполнения этой песни.
Фортепианный дуэт блистательно исполнил буги-вуги.
Дует — при написании через «е» слово является глаголом «дуть» в форме настоящего времени 3-е лица. Пишется через «е» поскольку относится к глаголам первого спряжения.
Из окна очень дует, закрой, пожалуйста.
Ледяной ветер дует с такой силой, что сбивает с ног.
Видимо кондиционер сломан, он дует еле-еле холодным воздухом.
Неправильно
Дуит.