Правильно
Дышат — глагол «дышать» является исключением из правил и относится ко второму типу спряжения. Соответственно, в форме третьего лица настоящего времени множественного числа пишется с окончанием на «-ат».
Туристы тяжело дышат после продолжительного подъема.
Участники команды дышат в унисон.
Спящие люди дышат медленно и глубоко.
Живя за городом они дышат чистым воздухом.
Неправильно
Дышут