Правильно
Финиш – правильный вариант написания слова, пишется без мягкого знака. Это существительное мужского рода, второго склонения. Согласно правилам русского языка мягкий знак после шипящих пишется на конце существительных только третьего склонения (ночь, рожь).
Первым на финиш прибежал Коля из параллельного класса.
Последней на финиш приползла Светка.
Финиш был обозначен двумя обычными палками.
Мы очень долго работали, и вот он, финиш.
Неправильно
Финишь.