Слова представляют собой разные формы одного глагола. Отличаются написанием, проверить которое можно, поставив к глаголам вопросы. В зависимости от вопроса в глагольном суффиксе будет или не будет писаться мягкий знак.
Правильно
Горячится – глагол, стоящий в форме настоящего времени. Следовательно, он отвечает на вопрос «что делает?». Поскольку в вопросе мягкого знака нет, то и в слове его не следует писать.
Он все время так горячится?
Только пусть он не горячится, а то разговора не получится.
Если сапер горячится, то это многократно приумножает вероятность неудачи .
Видимо разговор предстоит нелицеприятный, раз отец так горячится.
Горячиться – инфинитив, а значит, отвечает на вопрос «что делать?». Раз в вопросе есть мягкий знак, то и в слове его следует писать.
Отношения накалялись, и горячиться начинали уже все.
Ты начинаешь горячиться, а в этом деле нужны холодные мозги.
Нельзя же так горячиться по любому поводу!
Если он и дальше будет так горячиться, то ни к чему хорошему это не приведет.
Неправильно
Горячитца, горячитьца, горячицца.