Правильно
Илюшины — притяжательное прилагательное, которое отвечает на вопрос «чьи?». Уменьшительно-ласкательная форма имени Илья пишется без мягкого знака — Илюша. Соответственно все формы имени также будут писаться без мягкого знака.
Илюшины игрушки разбросаны по всей комнате.
Ваня взял Илюшины игрушки и ушел.
Это Илюшины штаны или Игорюшины?
Илюшины друзья поздравили его с днем рождения.
Неправильно
Ильюшины — такое написание встречается только как фамилия человека (Ильюшин — Ильюшины).