В русском языке можно использовать оба прилагательных и во многих значениях они являются синонимами.
Правильно
Интеллигентный — в современном языке наиболее часто употребляется именно это прилагательное, поскольку оно имеет несколько значений: 1. относящийся к интеллигенции; 2. свойственный интеллигенту; 3. образованный, культурный, вежливый, воспитанный, пр.
К нам в магазин заходил очень интеллигентный человек.
Интеллигентная внешность поможет тебе создать первое впечатление.
Иван Дмитриевич был человек образованный и интеллигентный.
Его интеллигентный вид вводил в заблуждение всех присутствующих.
Интеллигентский — относящийся к интеллигенции, свойственный интеллигенту. Это прилагательное чаще употребляется в контексте определенного исторического периода (буржуазной интеллигенции).
Между ними состоялся интеллигентский разговор.
Он, как всегда, проявил свою интеллигентскую слабость.
Его интеллигентский снобизм был просто смешной.
Смотри также: Интеллигентный или интиллигентный как правильно?