В русском языке употребляется оба слова, но их контекст абсолютно разный.
Правильно
Извините — глагол «извинить» во втором лице повелительного наклонения или будущего времени. Когда вы просите вас извинить, употребляется именно эта форма слова. Слово является синонимом к выражениям: прошу прощения, простите, прошу меня извинить.
Извините меня, пожалуйста, я больше так не буду.
Вы меня извините, но я сделал это случайно.
Вы точно меня извините, если я всё исправлю?
Извините, можно пройти?
Я случайно наступил вам на ногу, извините.
Извиняюсь — глагол «извиняться» в форме первого лица настоящего времени. Слово является глаголом несовершенного вида и подразумевает сам процесс извинения (отвечает на вопрос «что делаю?»). В смысле слова отсутствует сама просьба извинить за что-либо.
Я извиняюсь только за то, о чем действительно сожалею.
Если я извиняюсь перед кем-либо, то всегда искренне.
Я извиняюсь перед вами уже целый час!
Сегодня я извиняюсь перед всеми, кого когда-либо обидел.
Неправильно
Извиняюсь, я случайно наступил вам на ногу — такое построение предложения является некорректным и считается пренебрежительной формой извинения.