Извинится или извиниться как правильно?

Оба эти слова являются правильными, поскольку представляют собой разные формы одного глагола. Различаются они написанием, которое проверяется постановкой соответствующих вопросов к словам.

Правильно

Извинится – глагол будущего времени, а значит, будет отвечать на вопрос «Что сделает?». Поскольку в конце вопроса нет мягкого знака, то и в суффиксе глагола его не будет.
Он извинится, конечно, перед соседкой, хотя она и была не права.
Спустя время он извинится, но это не просто.
Маша извинится перед подругой матери за то, что рассорила их, но искренне ли это будет…
Она не извинится за свой ответ, потому что не считает себя виноватой.

Извиниться – неопределенная форма глагола. Вопрос, который можно поставить к глаголу – «что сделать?». Раз в вопросе есть мягкий знак, то и в глагольном суффиксе его следует писать.
«Извиниться не хочешь?» — спросил классный руководитель.
«Если ты случайно оттоптал кому-то ногу, то нужно извиниться,» — учила медведица своего малыша.
Извиниться для него означало признать свое поражение.
Извиниться в суде перед родными погибшего стоит хотя бы для того, чтобы облегчить собственные угрызения совести.

Неправильно

Извинитца, извинитьца, извениться, извенится.