Правильно
Кашляет — корни данного слова уходят далеко в праславянский язык, проверить написание с помощью других слов нельзя. В словарях русского языка написание глагола «кашлять» зафиксировано через букву «я». Окончание на «-ять» говорит о том, что глагол относится к первому типу спряжения, соответственно в других формах также пишется через «я»: кашляет, кашляют, кашляли и т.д.
Он кашляет уже несколько дней подряд.
Ваня кашляет из-за аллергии на цветущие растения.
Кто мне ответит, почему Маша кашляет?
Пациент кашляет мокротой, что говорит о неправильном диагнозе.
Неправильно
Кашлиет, кашлеет, кашлет, кашлит, кашлеит.