Правильно
Кашлять — этимология данного глагола уходит глубоко в праславянский язык, поэтому проверить его написание с помощью других слов невозможно. Правильно слово пишется через букву «я» и это написание необходимо запомнить. Окончание инфинитива на «-ять» относит слово к первому типу спряжения и определяет его написание в других формах (кашляет, кашляют, кашляли и т.д.).
Хватит уже кашлять на всех вокруг!
Кашлять я начал примерно неделю назад.
С недавнего времени он начал тяжело кашлять.
У меня постоянно першит в горле и приходится кашлять.
Неправильно
Кашлить.