Правильно
Кое-зачем – это слово представляет собой наречие (неопределенное местоименное). Образовано оно приставочным способом при помощи приставки «кое-», поэтому слово следует писать через дефис.
Нам с тобой еще кое-зачем сбегать надо, а потом и отдыхать можно.
Отправили их кое-зачем в командировку, да только впустую все.
Ей кое-зачем надо было бы зайти в магазин для рукодельниц.
Скорее всего, они пошли за кое-зачем, но скоро вернуться.
Неправильно
Кое зачем, коезачем.