Отличие всего в одну букву меняет род и падёж прилагательного в превосходной степени.
Правильно
Красивейший — это прилагательное «красивый» в превосходной степени в форме именительного или винительного падежа. Пишется через букву «и» в окончании.
Это наш красивейший экземпляр сервиза.
Предлагаем посетить красивейший курорт мира.
Он подарил Вере красивейший букет роз!
Красивейшей — то же прилагательное, но уже в форме женского рода родительного, дательного, творительного или предложного падежа. Пишется через букву «е» в окончании.
Сегодня на выставке нет красивейшей картины из нашей коллекции.
Этот сертификат мы дарим красивейшей девушке.
Красивейшей иконой мы гордимся по праву.
Чтобы лучше понять разницу между этими формами слова, их можно употребить в одном предложении:
Красивейший букет роз я дарю красивейшей девушке.
Неправильно
Красивийший, красивийшей.