В русском языке существуют оба слова, но они относятся к разным частям речи и употребляются в разных контекстах.
Правильно
Летучий — это слово является прилагательным и обозначает признак существительного, с которым стоит в предложении. Означает «способный передвигаться по воздуху», при чем подразумевается, что эта способность является неотъемлемой частью существительного.
Вечером по небу кружили летучие мыши
В океане живут летучие рыбы
В лесах Южной Азии живут летучие лисицы
Это летучая жидкость
Летающий — это слово является причастием и обозначает признак существительного по действию. Его часто путают с прилагательным, однако, из-за своих лингвистических свойств, причастие может заменять прилагательное. В речи чаще используется для подчеркивания необычности этого свойства для объекта.
Летающий автомобиль всех поразил
В небе парил летающий фонарик
Дети смотрят мультфильм «Летающий дом».
Наш взор устремлен на поиски летающей тарелки
Чтобы лучше понять разницу в словах, их нужно употребить в одном предложении:
Летающая в небе летучая мышь
Висящая под потолком летучая мышь
Сидящая на дереве летучая лисица
В живом языке эти слова зачастую используются в разных устоявшихся словосочетаниях: летучая мышь, летучая жидкость, летающая тарелка, летающий автомобиль, летающая фея.