Оба слова встречаются в русском языке, но имеют разное значение.
Правильно
Мэр – правильный вариант написания существительного мужского рода, пишется с буквой «э». Оно обозначает главу правительства города, избирается населением. Написание его нужно запомнить или проверять по орфографическому словарю.
Столичный мэр часто отдыхает в нашем санатории.
Мэр был избран в первом туре большинством голосов избирателей.
Здешний мэр часто встречается со своими избирателями.
В кабинет влетел разгневанный мэр.
Мер – правильный вариант написания существительного «мера» в родительном падеже множественного числа.
Мер, принятых руководством, оказалось недостаточно.
Столь решительных мер от нового директора не ожидал никто.
В этом пособии используется общепринятая система мер.