Правильно
Мучимый — страдательное причастие несовершенного вида мужского рода в единственном числе, отвечает на вопрос (какой? что делаемый?). Для проверки сомнительной гласной (и) определим в какой части слова она находится. Гласная (и) стоит в суффиксе (-им-). Причастия, обозначая признак предмета по действию, имеют признаки глаголов. Определить правильность написания гласных (е, и) в суффиксах причастий можно по спряжению производящего глагола. Мучить – глагол второго спряжения, следовательно в суффиксе причастия «мучимый» пишем гласную (и). Примеры: одолеваемый – одолевать, терзаемый – терзать (первое спряжение, пишется гласная (е), любимый – любить (второе спряжения, пишется гласная (и)).
Мучимый сомненьями Николай отворил дверь и вошел в родительский дом.
Василий все выходные может провести лежа, встает он только мучимый приступами голода.
Мучимый второклассником стишок все никак не запоминался.
Мучимый мыслью, что что-то сделал не так, я долго не мог заснуть.
Неправильно
Мучемый.