Правильно
Мячом — творительный падеж слова «мяч» пишется согласно простому правилу написания «о» и «ё» после шипящих в окончаниях существительных. По этому правилу, если после шипящего гласная находится под ударением, то следует писать букву «о» (мячом, мечом, врачом, кирпичом), если без ударения — букву «е» (товарищем, овощем, завучем). Соответственно, в существительном «мячОм» буква «о» находится под ударением.
Мячом дети выбили стекло в окне магазина.
Как ты так ловко управляешься с мячом?
Мальчики попали мне в голову своим мячом.
Своим новым мячом Тимур хвастался несколько дней.
Нам приходилось играть в футбол баскетбольным мячом.
Неправильно
Мячём.