Правильно
На досуге — всегда пишется раздельно, является устоявшимся выражением. Грамматически состоит из предлога «на» и существительного «досуг» в форме предложного падежа вне зависимости от того, используется выражение в качестве наречия или сочетания предлога с существительным.
Займусь ремонтом мотоцикла когда-нибудь на досуге
Этим делом нужно заниматься на досуге, а не в рабочее время!
На досуге больше времени нужно уделять семье
Олег, ты на досуге занимаешься чем-нибудь полезным?
Неправильно
Надосуге