Обидва слова присутні в українській мові як синоніми з невеликою семантичною різницею.
Правильно
Надіюсь – означає «мати надію на щось або когось, вірити в настання чого-небудь».
Надіюсь на гарну погоду у ці вихідні.
Я вже не надіюсь, що зможу поїхати туди ще раз.
Сподіваюсь – з більшою певністю вказує на можливість того, що може статися або хтось може зробити. Слово є застарілим і частіше зустрічається в розмовній мові.
Сподіваюсь вирішити це питання завтра.
Сподіваюсь ти використаєш ці гроші за призначенням.