Оба эти варианта написания встречаются в языке.
Правильно
Надышатся – чтобы не ошибиться с написанием данной глагольной формы, к слову необходимо поставить вопрос «что сделают?», поскольку глагол стоит в будущем времени во множественном числе, в третьем лице. НадЫшатся – ударной гласной в этом слове является «Ы», которая стоит во втором слоге.
Солдаты надышатся свободой, вернувшись из плена домой.
Больные надышатся морским воздухом и почувствуют облегчение.
Они еще надышатся весенним, звенящим воздухом, вот только выгонят врага со своей земли.
Надышаться – инфинитив, который всегда следует писать с мягким знаком в суффиксе. Проверить это поможет вопрос «что сделать?». Он пишется с «Ь», что указывает на необходимость писать эту букву и в глаголе. НадышАться – ударной гласной в этом слове является «А», стоящая в третьем слоге.
Ему так хотелось надышаться этим свежим чистым воздухом.
Ей просто необходимо было надышаться свободой от бывших отношений.
Чтобы не надышаться продуктами горения, следует следить за чистотой дымохода.
Неправильно
Надышатца, надышатьца, надышацца.