В зависимости от употребляемой части речи и смысловой нагрузки возможны оба варианта написания слова.
Правильно
Наконец – может использоваться как наречие (означает «в конце всего», «в конце концов») или как вводное слово (в смысле «и еще», «кроме того»). Словарное слово, написание его необходимо запомнить.
Наконец я закончила работу, над которой сидела несколько месяцев.
Он мне, наконец, позвонил и сообщил, что был в отпуске на море.
Наконец она согласилась со мной и мы стали искать дом для покупки.
Наконец сделка была совершена ,все документы подписаны и я взял несколько дней отгулов.
На конец – существительное с предлогом в форме винительного падежа, которое необходимо отличать от наречия. Если к слову «на конец» можно поставить вопросы «на что?» или «куда?» или добавить между предлогом и существительным прилагательное – тогда перед нами существительное с предлогом и пишется раздельно.
Сессию перенесли на конец мая и, чувствую, я не успею подготовиться ко всем экзаменам.
На конец нашего собрания мы пришли к выводу, что нам понадобится еще одно собрание.
На конец месяца я оказалась по уши в долгах.
Так вышло, что на конец года у нас были сплошные проблемы и неудачи.