В зависимости от контекста, возможно как слитное, так и раздельное написание слова.
Правильно
Наперебой – наречие, единственно правильное написание – слитное (регламентируется орфографическим словарем). Означает «перебивая, прерывая друг друга».
На совещании все говорили наперебой, не слушая друг друга.
В споре участники чаще всего кричат наперебой и обычно теряют нить разговора.
После оглашения завещания все присутствующие в комнате заговорили наперебой.
Мне все рассказывают наперебой, какой хороший тот парень из соседнего двора.
На перебой — существительное «перебой» с предлогом «на». В живой речи встречается редко, однако, вполне может использоваться для построения предложения. «Перебой» в данном случае означает: задержка, неравномерность, приостановка. В предложении между этими словами часто вставляется пояснительное слово.
На перебой в работе мы всегда реагировали спокойно
Вам не стоит обращать внимание на единичный перебой работы
На перебой работы конвейера обратило внимание руководство