В зависимости от части речи и смысла слова в предложении, возможны оба варианта написания.
Правильно
Напролет – наречие, образованное от существительного «пролет» с предлогом. Оно синонимично наречиям «без перерыва», «целиком». Является словарным словом, написание которого необходимо запомнить.
Все летние дни напролет они гуляли по парку и ели разнообразные фрукты.
Он ночь напролет трясся в поезде и на второй день он все еще не добрался до места назначения.
Он обошел весь лес напролет, но не нашел ни одного гриба.
Ночь напролет они играли в карты и пили дорогой коньяк.
На пролет – существительное второго склонения с предлогом «на» в форме винительного падежа. Согласно правилу написания предлогов с другими словами всегда пишется раздельно. Обычно в предложении стоит вместе с пояснительным словом.
Я вышла на пролет лестницы и перегнулась через перила.
По вечерам на пролет вниз по лестнице приходят подростки и мусорят.
На пролет гусей над моим домом по осени я смотрю всегда заворожено.
В нашем подъезде соседи часто выходят на пролет и решают насущные проблемы.