Оба варианта написания являются правильными, но имеют разное значение. Все зависит от того, какой частью речи будет выступать слово.
Правильно
Насколько — пишется слитно, если слово является наречием, используется к контексте «в какой мере», «в какой степени» (как?), пр.
Насколько я знаю, так будет правильно
Я не знаю, насколько дорого это обойдется
Насколько сильно нужно давить на рычаг?
Насколько сильную боль испытывает женщина во время родов
На сколько — пишется раздельно, если используется вопросительное слово «сколько» с предлогом «на». В данном случае контекст подразумевает получение ответа в численном выражении.
На сколько дней он уехал — Он уехал на пять дней
На сколько моя удочка короче твоей — Твоя удочка короче на 20 см.
На сколько частей разрезать пиццу? — Пиццу нужно разрезать на 6 частей