Так как это слово может выступать как наречием, так и существительным с предлогом, возможны оба варианта написания.
Правильно
Насмерть – словарное наречие, написание которого всегда является слитным. Образовано от существительного с предлогом в форме винительного падежа. Написание этого слова необходимо запомнить.
Шальная пуля сразила бедного молодого человека насмерть.
За свою женщину мужчина всегда готов драться насмерть.
Его насмерть сразила эта трагичная новость.
Сейчас в газете часто публикуют статьи о том, что волки из ближайшего леса насмерть загрызли человека.
На смерть – существительное с предлогом, написание которого может быть только раздельное (согласно правилу написания существительных с предлогом). Чаще всего в предложении стоит вместе с пояснительным словом.
Политики осознанно посылали своих солдат на смерть.
На смерть своих питомцев невозможно смотреть со спокойным сердцем.
Добровольцы, которые идут на войну, знают, что, возможно, идут на смерть.
Он дрался не на жизнь, а на смерть.