Оба слова являются правильными, но относятся к разным падежам.
Правильно
Насте — имя «Настя» в дательном (кому?) и предложном (о ком?) падежах, в конце имени пишется буква «е».
Мы дали Насте яблоко
Нам нужно помочь Насте сделать работу
Насте поставили хорошую отметку
Мы заботились о Насте
Они долго разговаривали о Насте
Насти — имя «Настя» в родительном падеже (отвечает на вопрос кого?), в конце имени пишется буква «и».
Сегодня Насти нет дома
Нам очень скучно без Насти
Я сижу на лавочке возле Насти