Так как можно использовать оба варианта, следует различать наречие от существительного с предлогом.
Правильно
Наверх — это наречие, отвечает на вопрос «куда?», обычно стоит в предложении сразу после глагола, не имеет поясняющего слова – значит, пишется слитно.
Он пригласил меня пройти с ним наверх и я поддалась искушению.
Я глянула наверх и осталась стоять, очарованная звездным небом.
В любом случае в отчете наверх ты сможешь написать, что сделала все от тебя зависящее.
Возможно, когда-нибудь, и меня пригласят наверх на вечеринку.
На верх — существительное с предлогом, между ними можно поставить какое-нибудь прилагательное, поэтому пишется раздельно. Также в предложении может стоять вместе с пояснительным словом.
На верх шляпы нагадила птичка, но он так ничего и не заметил.
На верх платья она нашила множество камней, отчего оно стало выглядеть еще более безвкусным.
Он поместил флюгер и флаг своей страны на верх крыши дома.
Игорь поставил сумку на верх этой странной конструкции.