Правильно
Не вгаваючи — дієприслівник недоконаного виду в теперішньому часі, відповідає на питання (що роблячи?). Між написанням частки «не» з дієслова та дієприслівниками є пряма залежність. Дієслова, за винятком тих, які без (не) не вживаються, зазвичай пишуться окремо з часткою (не). Оскільки, (не) з дієсловом вгавати — пишеться окремо, то і дієприслівник напишемо окремо із часткою (не). До речі, лексичне значення перевіреного слова – безперервно, без упину. Приклади: не поспішаючи, не зупиняючи, не подумавши.
По гучномовцю не вгаваючи запрошують бажаючих на різноманітні екскурсії.
Сьогодні народ розгулявся – не вгаваючи звучить музика, шум, гам з усіх боків.
Якщо не вгаваючи робити різноманітні фізичні вправи, то можна отримати розтягнення м’язів.
Неправильно
Невгаваючи.