Правильно
Нещодавно — обставинний прислівник часу, відповідає на питання (коли?). При написанні треба мати на увазі, що частка (не) в даному слові не має заперечної властивості, виступає префіксом так само, як і займенник (що). Можемо констатувати, що без (не) прислівник не вживається, тому і пишеться разом. Наприклад: недоброзичливо, нерішуче, несумлінно. Окреме написання слів можливе тільки за умови використання їх в тексті, як різних частин мови.
Нещодавно в нашій сім’ї відбулася значна подія – ювілей нашого тата.
Нещодавно на вулиці був дощ, але, майже миттєво, на небі вже яскраво сяє сонце.
В план роботи методичного кабінету нещодавно були внесені зміни.
Нещодавно я зрозуміла, що сусідський Микола почав залицятися до моєї Наталки.
Неправильно
Не що давно.