Все варианты написания встречаются в русском языке.
Правильно
Ничем – к этому слову можно поставить вопрос «чем?», следовательно, данное слово является отрицательным местоимением «ничто», употребленным в падежной форме. «Ни-» в данном случае является приставкой, поэтому слово пишется слитно. НичЕм – ударение в этом слове падает на второй слог, ударной гласной является «Е».
Ее уже ничем удивить нельзя было.
Ничем сложившуюся ситуацию исправить было невозможно.
Мне уже ничем заниматься не хочется.
Ничем ты навредить ему не сможешь.
Нечем — данное слово представляет собой местоимение, употребленное в форме творительного падежа. Ударение в слове приходится на первый слог – нЕчем. «Не-» в данном случае является приставкой.
Мне нечем вам помочь.
После представленной программы удивить шефа уже будет нечем.
В комнате стало нечем дышать.
Развлечься вечером в пансионате было нечем.
Ни чем – при раздельном написании «ни» является частицей, поэтому в предложении с местоимением «чей» должна писаться отдельно.
Ни сердечными приступами, ни болями в коленях, ни чем другим женщина не страдала.
Ни радостью, ни огорчением, ни чем другим не была наполнена ее повседневная жизнь.
Она не знала ни чем заняться, ни к кому сходить в гости.
Ни музыкой, ни танцами, ни пением, ни чем другим она не увлекалась.
Неправильно
Не чем.