Правильно
Ночую — глагол «ночевать» в форме первого лица, настоящего времени, единственного числа. Пишется через букву «у» после шипящей «ч». Согласно правилам русского языка после шипящих «ж», «ч», «ш», «щ» всегда пишется «у» (кроме слов-исключений французского происхождения).
Завтра я ночую у бабушки, поэтому смогу зайти в гости.
Сегодня я ночую сам в палатке глубоко в лесу.
Ночую под твоим окном в надежде тебя увидеть.
Сегодня я ночую не дома, поэтому увидимся завтра.
Неправильно
Ночюю.