И первый вариант написания, и второй являются правильными, но каждый в своем случае. Проверить правильность написания легко: следует поставить вопрос к глаголу.
Правильно
Обогатится – (что сделает?) — будущее время, третье лицо. Пишется глагол без мягкого знака по той причине, что его нет в вопросе.
Бурундуков легко обогатится, поскольку своим нутром ощущает передвижение денег.
Почва обогатится, если в неё внести удобрение.
После окончания этого курса он обогатится новыми знаниями.
Городская библиотека вскоре обогатится новыми книгами.
Обогатиться – (что сделать?) — инфинитив. Мягкий знак пишется в слове, потому что он есть в вопросе.
Обогатиться – это стать более богатым.
Очень скоро государственная казна сможет обогатиться за счет новых налогов.
Многие сейчас хотят обогатиться.
Старуха всю свою жизнь мечтала обогатиться.
Неправильно
Обогатитца, обогатитьца, обагатится, обагатиться.