Правильно
Обжора — всегда пишется через букву «о» после шипящего «ж». К существительному нельзя подобрать однокоренное слово, которое бы писалось через «е», это значит, что не происходит чередование «ё»-«е». Правильность написания зафиксирована во всех словарях русского языка.
Этот обжора поел все пельмени
Сколько этот обжора еще будет есть?
У этого обжоры скоро лопнут щеки!
Обжора наелся и развалился на диване
Неправильно
Обжера, абжора