Правильно
Огнедышащий — правильный вариант написания сложного прилагательного, пишется слитно. Согласно правилам русского языка, если прилагательные образованы путем сложения основ слов, одно из которых зависит от другого, то они пишутся слитно. Основы часто присоединяются с помощью соединительных гласных: огнедышащий, дикорастущий, железнодорожный.
Петя часто смотрит мультфильм «Огнедышащий дракон».
Огнедышащий вулкан уже третий месяц извергает дым и пламя.
Замок охранял огнедышащий дракон.
Экспедиция обосновалась у подножия огнедышащего вулкана.
Неправильно
Огне-дышащий, огне дышащий.