В русском языке наречия «опять» и «снова» являются абсолютно полными синонимами и используются равноправно. При этом фраза «Не опять, а снова» в современном языке носит характер фразеологизма и никакого отношения к грамматике не имеет. Однако, стоит отметить, что в контексте определенного предложения можно вложить в эти наречия немного разный смысл.
Правильно
Опять — еще раз, снова, вновь, сначала. В контексте может означать повтор чего-либо еще раз без изменения конечного результата.
Сын опять сломал свою машинку
Опять мне придется за тобой убирать!
Ты опять играешь весь день в игры?
Я опять получил штраф на это злополучном перекрестке
Снова — вновь, еще раз, опять. В контексте может означать повтор чего-либо с самого начала в надежде получить новый, или улучшить предыдущий результат.
Я буду снова учиться играть на баяне
Дима делает попытки снова и снова, возможно будет результат
Он начал снова активно заниматься спортом
Я попробую снова, но не факт, что у меня получится.