Обе формы существуют в русском языке.
Правильно
Осмелится – этот глагол, стоящий в форме будущего времени, отвечает на вопрос «что сделает?». В вопросе не пишется «Ь», следовательно, слово не нуждается в этой букве.
Разве он осмелится это сделать?
И когда он осмелится спросить об этом?
Неужели он осмелится сказать начальнику о его ошибке?
Неужто он осмелится поднять не него руку?
Осмелиться – представленное слово является инфинитивом, поэтому оно будет отвечать на вопрос «что сделать?». Наличие буквы «Ь» в вопросе, который ставится к глаголу, говорит о необходимости писать мягкий знак в глагольном суффиксе.
Это же надо было осмелиться такое совершить!
Как можно было осмелиться сказать такое учителю?
Надо было все же осмелиться и выказать свое недовольство.
А мог ли он хоть когда-нибудь осмелиться перечить отцу?
Неправильно
Осмелитца, осмелитьца, осмелицца.