Правильно
Остаться – это глагол, стоящий в неопределенной форме. Проверить правильность написания возможно, пользуясь правилом, которое утверждает, что если в вопросе присутствует буква «Ь», тогда и в глаголе она должна быть. Данный глагол отвечает на вопрос «Что сделать?», а значит – пишется с мягким знаком.
Было бы не плохо, если бы вы захотели остаться у нас переночевать.
Группа людей решила остаться на скамейке и подождать автобус.
Общим согласием семья договорилась остаться ещё не на определенное время.
Я хочу остаться с ним навсегда!
Простите, но я не могу с вами остаться.
Неправильно
Остатца, остацца, остатся