Правильно
Отсидеться — этот глагол является инфинитивом. К слову для проверки написания суффикса уместно поставить вопрос «что сделать?». Наличие буквы «Ь» в вопросе свидетельствует о необходимости ее написания и в глаголе.
Женька все праздники решил отсидеться дома.
Ваши молодые коллеги, видимо, надеются отсидеться за вашей спиной.
Сослаться на нейтралитет и спокойно отсидеться в сторонке на этот раз не получится.
В кабине тебе, Витек, отсидеться не удастся.
Неправильно
Отсидется, отсидетьца.