Правильно
Отсыпаться – это слово отвечает на вопрос «что делать?», значит, является инфинитивом. Поскольку вопрос имеет «Ь», то и в глаголе эта буква должна обязательно быть.
Отсыпаться будешь после того, как сдашь сессию.
Я быстро попрощался и отправился в комнату отсыпаться.
Теперь я могу отсыпаться до следующей рабочей смены.
Возможности отсыпаться я был рад в любое время дня и ночи.
Неправильно
Отсыпатся, отсыпатьца, отсыпацца.