Правильно
По многу — пишется раздельно если слово «многу» выступает в качестве числительного (отвечает на вопрос «сколько?»). В основном используется как устойчивое выражение, можно заменить на «по много».
Давайте будем жить по многу лет
Будем повторять это по многу раз
По много — то же, что и «по многу», используется в таком же значении, если общая фраза звучит более благозвучно.
Нам нужно взять по много наград
Каждому из нас дали по много конфет
Помногу — в данном случае слово выступает наречием, пишется слитно (отвечает на вопрос «как?»). Можно заменить на синонимы: усердно, много, сильно, долго, пр.
Он каждый день помногу работал
Вечерами мы помногу беседовали
Неправильно
Помного — такого слова нет в русском языке