Оба слова написаны верно.
Правильно
Побесится – этот глагол, употребленный в форме будущего времени, отвечает на вопрос «что сделает?». Вопрос не имеет «Ь», тем самым указывая и на ненужность указанной буквы в данном слове. ПобЕсится – ударение в этом слове приходится на второй слог, где ударной гласной является «Е».
Пусть побесится немного, может, ему полегчает.
Он чуток побесится и вернется.
Он ведь еще ребенок, пусть оторвется немного и побесится.
Завтра побесится, а сейчас идти надо.
Побеситься – данный инфинитив всегда пишется с «Ь» в своем суффиксе. Проверить правописание можно постановкой вопроса «что сделать?» к глаголу. Наличие «Ь» в вопросе говорит о необходимости написания указанной буквы и в слове. ПобесИться – ударение в этом слове падает на третий слог, где ударной гласной является «И».
Мне бы хотелось просто побеситься.
Современная молодежь только и может, что побеситься на дискотеках.
Где бы мы могли немного побеситься, чтобы не мешать гостям?
Мы могли после школы немного побеситься на площадке, и лишь потом шли по домам.
Неправильно
Побеситца, побеситьца, побесицца.