Правильно
Побороться – представленное слово является инфинитивом, отвечающим на вопрос «что делать?». Слово всегда пишется с буквой «Ь» в своем суффиксе, поскольку эта буква есть в вопросе.
Нам очень хотелось побороться за призовое место на соревнованиях.
Ему еще предстояло побороться за жизнь.
Нам придется еще побороться, чтобы не утонуть в море бизнеса.
У него еще есть отличная возможность побороться за лидерские позиции.
Неправильно
Поборотся, поборотьца, побороцца.