Данная пара слов представляет глаголы, употребленные в разных формах. Именно поэтому оба варианта написания можно встретить в русском языке.
Правильно
Побоятся – представляет собой глагол, стоящий в форме будущего времени. Чтобы убедиться в том, что глагол следует писать без мягкого знака, к нему следует поставить вопрос «что сделают?». Поскольку вопрос пишется без мягкого знака, то эта буква не понадобится и в суффиксе глагола.
Мне кажется, что они побоятся высказать свое мнение в этом споре.
«Побоятся и перестанут,» — отмахнулся он читавшей нотации соседки.
Они побоятся ввязываться в эту драку.
Побояться – является глаголом, употребленным в неопределенной форме. Слово требует «Ь» в суффиксе глагола, потому что вопрос «что сделать?», на который отвечает данный глагол, пишется с данной буквой.
Здесь важно не побояться взять ответственность на себя.
Они должны не побояться рассказать, как выглядит со стороны жизнь этого микрорайона.
А вдруг они побояться принять сразу такое решение?
Неправильно
Побоятца, побоятьца, побояцца.